Matematiğin Güzelliği ve Sayısal Bilmeceler

[DreiMalAli]

ChildInTime1";p=&quot´isimli üyeden Alıntı

Bu piramit N katlı olsaydı

1/2{N(N+1)(2N+1)/6 + N(N+1)/2} tane olurdu.. *Toplam sembolü metodu ile bu sonuç çıkar.

Yukarıdaki örneğimizde N = 5 ti,, deneyebilirsiniz

Evet.
Ve biraz daha sadeleştirirsek

N(N+1)(N+2)/6

olur.

Sevgiler

[pante]

Teorem: Bütün sayıların kareleri, sayının iki katı içindeki tek tamsayıların toplamı olarak yazılabilir.

5^2=25

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

11^2=121

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21=121

[pante]

( 0 x 9 ) + 8 = 8

( 9 x 9 ) + 7 = 88

( 98 x 9 ) + 6 = 888

( 987 x 9 ) + 5 = 8888

( 9876 x 9 ) + 4 = 88888

( 98765 x 9 ) + 3 = 888888

( 987654 x 9 ) + 2 = 8888888

( 9876543 x 9 ) + 1 = 88888888

( 98765432 x 9 ) + 0 = 888888888

( 987654321 x 9 ) +– 1 = 8888888888

[WhenAblindCries]

Saatinizin akrep ve yelkovanı her 65 dakikada bir üst üste geliyorsa,geri mi kalıyordur,ileri mi gidiyordur?
Bu hata saatte ne kadardır?

[kompLeks]

10072222222....................................... ..3 * *araya istediğiniz kadar 2 yazın bu sayı 7 ile tam bölünür...çünkü ?
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *_ _ +
* *37 ile bölünebilme kuralının 3 4 7 olduğunu bilyor muydunuz?
örn: * *259.185 * sayısına bir bakalım

* * *_ _ + * _ _ +
* * *2 5 9 * 1 8 5 *--> * *-3*2 -4*5 +7*9 -3*1 -4*8 +7*5 = -6 -20 +63 -3 -32 +35 = 37
* * *3 4 7 * 3 4 7 * * * * *sonuç 37 nin katı olduğundan bu sayı 37 ile tam bölünür.7 ile
* * * * * * * * * * * * * * * * *bölünebilme kuralına benzerdir.

[3.yol]

WhenAblindCries";p=&quot´isimli üyeden Alıntı

Saatinizin akrep ve yelkovanı her 65 dakikada bir üst üste geliyorsa,geri mi kalıyordur,ileri mi gidiyordur?
Bu hata saatte ne kadardır?

Saatte 25sn 25/143 salise *ileri gidiyor cevabini buldum dogru cevap nedir ?

[WhenAblindCries]

ucuncuyol";p=&quot´isimli üyeden Alıntı

Saatte 25sn 25/143 salise *ileri gidiyor cevabini buldum dogru cevap nedir ?

60/143 dk ileri

[DreiMalAli]

Nasıl paylaşacaklar bu mirası ??? başlığından devam:

DEVE PAYLAŞIMININ KERAMETLERİ 1:

Bir baba çocuklarına 17 tane deveyi miras bırakıyor. vasiyeti ise;
1. çocuk 1/2 oranında pay alacak,
2. çocuk 1/3 oranında *pay alacak
ve
3. çocuk 1/9 oranında pay alacak.

Vasiyeti ciddiye alır da bu oranlarla paylaşırlarsa
1. çocuk mirasdan 17 . 1/2 = 17/2 = 8 + 1/2 = 8,5 tane deve alması lazım.
2. çocuk mirasdan 17 . 1/3 = 17/3 = 5 + 2/3 = 5,66.. tane deve alması lazım.
3. çocuk mirasdan 17 . 1/9 = 17/9 = 1 + 8/9 = 1,88... tane deve alması lazım.

Bu paylarda paylaşmak için 3 tane deveyi kesmeleri gerekiyor.
Bu arada bir devenin 1/2'si, 2/3'ü ve 8/9'u nedir sorusunu cevapsız kalıyor tabi.

Diğer tarafdan ama bu şekilde paylaşmış olsalar dahi ellerine geçen toplam miktar

17/2 + 17/3 + 17/9 = 289/18 = 16 + 1/18

kadar deve olacak.
Paylaşılması gereken miktarın 17 deve olduğunu hatırlar ve bu oranlarla paylaşıldığını düşünürsek mirasdan

17 - 289/18 = 17/18

kadar deve artmış olacak.
Nerdeyse 1 deve paylaşılmadan ortalıkda kalacak.
Nedeni ise paylaşım oranlarının toplamının 1 olamyıp

1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18

olması. Yani 1'den küçük olması. Paylaşım oranlarının 1 olması için oranlara

1 - 17/18 = 1/18

daha eklememiz gerekiyor.

[Konu dışı bir parantez açalım]
Burada; mirasdan arta kalan bir miktarın olması hemen

olmayan Allah'ın
göndermediği peygamberine,
(hiç yaşamamış olan Muhammed'e,)
indirmediği vahiylerle dikte ettirmediği Kuran'daki

miras paylaşımını akla getiriyor ve

Kuran'daki bu matematik hatasını berteraf etmek mümkün oladığından
bu Dünya'ya hiç uğramadığı için halifelik yapmamış olan halife Ömer tarafından icat edilmemiş olan fakat müslümanlar arasında yüzyıllardır kullanılan "avliye-reddiye paylaşımı"
nıda hatırlatıyor.
Bizim örneğimizde paylaşımdan sonra bir artık kalıyor. Bu ise müslümanların miras paylaşımı sisteminde

"reddiye paylaşımı"na denk düşer.
"Allahın matematik hatası" konusu hakkında exclusive arkadaşımızın açmış olduğu başlığın linkini verelim:
http://www.turandursun.com/modules.p...ewtopic&t=2493

İlgilenen olursa şu link olayın garipliği hakkında biraz bilgi veriyor:
http://www.ateizm.org/arsiv/ARSIV-V/T1450.HTM
[Konu dışı açılan parantezi kapatalım]

Hikayemizin devamında işin içine birisi daha giriyor. Hikayenin orijinalinde bu kişi bazan bir yolcu bazan bir bilge(!) diye geçer.
Bu bige kişi 17 deveye kendi devesi olan 1 deve daha ekliyor. Babadan kalan mirasın miktarı 17 deve iken bilgenin eklemesiyle oluşan ve sonra bölüşülen mirasın miktarı 18 deve oluyor. Bilge ise mirasdan pay alan 4. kişi rolüne bürünüyor. Ama çocukların mirasdan almaları gereken pay oranlarında bir değişiklik yapılmadığından

1. çocuk mirasdan 18 . 1/2 = 18/2 = 9 tane deve alıyor. Alması gerekendan 1/2 deve daha fazla eline geçiyor.
2. çocuk mirasdan 18 . 1/3 = 18/3 = 6 tane deve alıyor. Alması gerekendan 1/3 deve daha fazla eline geçiyor.
3. çocuk mirasdan 18 . 1/9 = 18/9 = 2 tane deve alıyor. Alması gerekendan 1/9 deve daha fazla eline geçiyor.
Çocukların eline tam olarak

9 + 6 + 2 = 17

deve geçmiş oldu.
Bu ise babadan kalan mirasa denk düşüyor.

Çocukların ellerine geçen fazlalıkları toplarsak

1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18

olduğunu görürüz.
Bu; yukarda hesapladığımız gibi, asıl miras olan 17 deve paylaşılsaydı ortada kalacak olan miras miktarına denk düşer.
Böylece ortada kalacak olan miras miktarı çocuklar arasında paylaşılmış oldu.

Bilge ise 18 develik mirasdan 1 deve alıyor. Bu bilgenin babadan kalma mirasa eklediği deve miktarıdır.Bilgenin mirasdan 1 develik pay alması; mirasdan 1/18 oranında pay aldığı anlamına geliyor. Bu ise çocukların pay oranlarının toplamın 1'e tamamlamak için gereken pay oranından başka bir şey değil.

Çocukların eline geçen miktarlar, babanın mirasına VE vasiyetine dayanarak yapılan bir miras paylaşımından ellerine geçmesi gereken miktarlar değil. Bilgenin katkısıyla; ortada kalacak olan artık-miras çocuklara kalmış oldu.

Olayın duygusal tarafı:
Çocuklar 17 deveyi deve kesmeden paylaşamaz iken, bilgenin teklifiyle paylaşabilir hale geliyorlar.
Bilge ise miras paylaşımından önce 1 deve koyuyor miras paylaşımından sonra ise 1 deve alıyor. Bir şey kaybetmemiş oluyor.
Bu iki olguyu bir arada görünce hayretler içinde kalıyoruz.
Bu hayretimizden dolayı bababının vasiyetinin ırzına geçildiğini göz ardı ediyoruz.

Baba 1. çocuğuna 8,5 deveyi layık görmüşken çocuk 9 deve alarak babasının vasiyetini çiğnemiş oldu.
Baba 2. çocuğuna 5,66 deveyi layık görmüşken çocuk 6 deve alarak babasının vasiyetini görmezden geldi.
Baba 3. çocuğuna 1,88 deveyi layık görmüşken çocuk 2 deve alarak babasının vasiyetini ayaklar altına aldı.

Tabi bilgenin yönteminin tek çözümü mirasa 1 deve eklemek değil.
Deve sayısını 18'in katlarına (1 . 18 = 18, 2 . 18 = 36, 3 . 18 = 54, vs.) tamalayan her çözüm yolu * * *
bilgenin yöntemidir.
Bilge 19 deve ekleyerek mirası 36 deveye çıkarmış olsaydı, babalarının vasiyetini ciddiye almayan
1. çocuk 36/2 = 18 deve alacaktı.
2. çocuk 36/3 = 12 deve alacaktı.
3. çocuk 36/9 = 14 deve alacaktı.
Bilge ise mirasa 19 deve eklediği halde sadece 2 deve alıp 17 deve zararda olacakdı.
Ve çocuklar epeyce bir sevinecekler, bilgeye minnettar kalacaklardı.

Veya babanın develerinin sayısı 17 değil 35 olsaydı...
Aynı yöntemi kullanarak...
Bilge 1 deve daha koyarak mirası 36'ya çıkarırdı.
Bu durumda da
1. çocuk 36/2 = 18 deve alacaktı.
2. çocuk 36/3 = 12 deve alacaktı.
3. çocuk 36/9 = 14 deve alacaktı.
Çocukların eline geçen toplam deve miktarı 34 olurdu.
Bilge ise sadece 1 deve eklediği halde 2 deveye el koyardı.
Ama çocuklar bilgeyi artık bir bilge olarak değil bir üçkağıtcı, bir sahtekat olarak görürler; belki de
üzerine yürüyüp bir güzel pataklarlardı.

Biz ise bu durumlarda hayret etmez, işin içindeki bit yeniğini aramaya kalkardık.

Neyse!
Örnekleri bırakıp şu bilgenin yöntemini genelleştirip sorunun genel haline bir çözüm bulmaya çalışalım.

Sevgiler

[DreiMalAli]

DEVE PAYLAŞIMININ KERAMETLERİ 2:

Babadan kalan deve sayısı D olsun.
(Soruda D = 17 idi)
Çocukların sayısına ç diyelim.
(soruda ç = 3 idi)
Bilge babadan kalan mirasa E kadar deve eklesin.
(soruda E = 1)
Çocukların pay oranları pi (küçük p ile) olsun. i = 1, 2, ... ç
(soruda p1 = 1/2, p2 = 1/3, p3 = 1/9)
Ne akla hizmet ettiği anlaşılmayan bir nedenden dolayı baba öyle oranlar koymuş ki, pi 'lerin toplamı ( = p) 1'den küçük:
p = p1 + p2 + ... pç < 1
(Soruda p = 1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18 = 0,944... < 1)

Bilgenin yöntemini tanımlayalım:
1. Bilge çocukların babasından kalan mirasa E taner deve ekleyecek. Mirasın D + E olmasını sağlayacak.
2. Çocuklar kendilerine (D + E) tane deve üzerinden pay alacaklar.
3. Çocuklar paylarını aldıkdan sonra geriye E tane deve kalacak.
4. deve sayıları her zaman tam sayı halinde olacak.
5. Çocukların pay oranları (=pi) rasyonal sayı olacak

Çocuklara mirasdan düşen pay Pi (büyük P ile) ise:

D + E kadar deveden i numaralı çocuğa düşen pay

Pi = (D + E).pi

tane deve olacak.

Bilge mirasa ne kadar deve ekledi ise miras paylaşımı sonucunda yine o kadar deveyi tekrar almasını bekliyoruz.
Öyleyse çocukların paylarının toplamı babadan kalan deve sayısına eşit olmalı:

D = (D + E).p

dir.

Babadan kalan mirası ( = D) ve çocukların pay oranını bildiğimizden (toplamı p), bu eşitlikden bilgenin kaç tane deve eklemesi gerektiğini hemen hesaplayabiliriz artık.

E = D . (1 / p - 1)

Eşitliğn tam sayılar kümesinde çözülbilmesi için p sayısının payı D sayısının bir böleni olması gerek.

Sorudaki D = 17 ve p = 17/18 'i yerine koyarsak bilgenin eklemesi gereken deve miktarının

E = 17 . [1 / ( 17/18 ) - 1] = 1

tane olduğunu buluruz.

Sevgiler

[DreiMalAli]

DEVE PAYLAŞIMININ KERAMETLERİ 3:

İkinci bir yol olarak, bilgeyi bir mirascı olarak görebiliriz.

Pay oranlarının toplamı 1 ise bir mirasın eksiksiz-fazlasız bölüşülebileceğini biliyoruz.
Çocukların pay oranları toplamının 1'den küçük olduğunu da biliyoruz.
Öyleyse bilgenin pay oranı (pb)

pb = 1 - p

olur.
Bilgenin mirasdan alması gereken pay ise (= Pb)

Pb = pb . (D + E) = (1 - p) . (D + E)

Bilge mirasa ne kadar deve ekledi ise miras paylaşımı sonucunda yine o kadar deveyi tekrar almasını bekliyoruz. Öyleyse miras paylaşımında bilgeye düşen pay

Pb = E

dir.

Bu iki denklemden

E = (1 - p) . (D + E)

ve buradan da yine yukardaki sonucu, yani

E = D . (1 / p - 1)

olduğunu buluruz.

Sevgiler