Matematiğin Güzelliği ve Sayısal Bilmeceler

[Materyalist]

Allahüüüü Teala efendimiz size akıl fikir versin emüüüü....!!! Yahu ne olmuş bu siteye böyle.. *Daha doğrusu site üyelerine... * * Matematiğinen kafayı bozmuşsunuz..Yok dört tene bir ne eder?... Yok en güzel sayı nedir? Yok şunu şuna ekleyin, bunu da bunun sırtına bindirin...
"Geometri bilmeyen bize gelmesn" *.... *(Platon)

[DreiMalAli]

Yav dur hele!
Daha " DEVE PAYLAŞIMININ KERAMETLERİ" tezi bitmedi.

Başlığımız ne diyo?
1. Matematiğin Güzelliği
ve
2. Sayısal Bilmeceler.

Tezimizde ise her ikisi de var.


Sevgiler

[pante]

Çok güzel bir çalışma olmuş DreiMalAli.

Bu arada babanın paylaşım için bilge aratmayacak şekilde, vermesi gerektiği doğru oranları belirtelim:

p1 = 1/2 ve p2 = 1/3 payları aynı kabul edelim.
Üçüncü çocuğu için oran;
p3 = 1 - 1/2 + 1/3
p3 = 1/6
olmalıydı.

[DreiMalAli]

DEVE PAYLAŞIMININ KERAMETLERİ 4:

Buraya kadar olan kısımda pay oranları verilmişti. Aranan ise bilgenin kaç tane deve eklemesi gerektiğini hesaplamaktı.
Daha ilginci ise; bu yöntemin tamsayılarla çalışabilmesi için, çocuk sayısının (ç), pay oranlarının (pi), deve sayısının (D) ve bilgenin eklediği deve sayısının (E) nasıl seçilmesi gerektiğini hesaplamak olurdu.
Bu sayıları rasgele seçtiğimizde sadece tamsayılarda değil diğer sayı kümelerinde de çalışmayacağını tahmin etmek zor değil.

Pay oranlarını (pi) bir bölme olarak yazalım.

pi = xi / yi
xi ve yi hem pozitif ve ortak bölenleri bulunmayan tam sayılar olmaları gerek.
Ayrıca (xi < yi) eşitsizliğinin geçerli olması lazım. Aksi takdirde pi ve dolayısıyla oranların toplamı 1'den büyük olur.

i numaralı çocuğun eline geçen miktar

Pi = pi . (D + E) = xi.(D + E)/yi *

olur.
xi ve yi 'nin ortak bölenleri yok.
O halde
Pi'nin bir tam sayı olabilmesi için (D + E) ifadesi yi'ye bölünür olmak zorundadır.

Pay oranlarının toplamını

p = x1/y1 + x2/y2 + ...+ xç/yç = x/y

şeklinde ifade edebiliriz..
Bu ifadedeki x; pi'leri topladığımızda oluşan pay, y ise oluşan payda anlamına geliyor.
Burada en azından (x < y) şartını aramamız gerekir.
Ama kolaylık olsun diye y sayısını, yi sayılaraının en küçük ortak katı olarak kabul (EKOK) edebiliriz.

Çocukların eline geçen toplam miktar

D = p.(D + E) = x.(D + E)/y

dır.
(D + E) sayısı yi sayılarına bölünebiliyor.
y ise yi sayılarının çarpımından oluşan bir payda.
Öyleyse (D + E) sayısı y sayısına da bölünür.

Ayrıca p'nin

p = D/(D + E) olduğunu göz önüne alırsak, bilgenin yönteminin çalışabilmesi öyle bir E sayısı bulmalıyız ki,

1. x/y = D/(D + E) eşitliği sağlansın
VE aynı zamanda
2. (D + E) sayısı ya bi 'lerin EKOK'ı olsun ya da EKOK'ın bir katına eşit olsun.

Bilgenin yönteminin çalışabilmesi için en genel şartlar belirlenmiş olduk. Bazı sayılar belli olduğunda özel şartlar da girebilirler işin içine.

Sevgiler

[gercekisim]

babası çocuklara 17 deve bırakmış ve 17 tane deveyi paylaşmaları için taksim oranlarını da vermiş. Bu durumda 18'e tamamlanması vasiyete aykırı olur. Babaları dalga geçmiş

[DreiMalAli]

pante";p=&quot´isimli üyeden Alıntı

Çok güzel bir çalışma olmuş DreiMalAli.

Bu arada babanın paylaşım için bilge aratmayacak şekilde, vermesi gerektiği doğru oranları belirtelim:

p1 = 1/2 ve p2 = 1/3 payları aynı kabul edelim.
Üçüncü çocuğu için oran;
p3 = 1 - 1/2 + 1/3
p3 = 1/6
olmalıydı.

Ama o zamanda avliyeye ve reddiyeye gerek kalmazdıki...


Sevgiler

[DreiMalAli]

DEVE PAYLAŞIMININ KERAMETLERİ 5:

Örnek olsun diye sonucu biraz özelleştirelim.

Yukardaki asıl soruda olduğu gibi çocuk sayısının ç = 3 olduğuna karar vermiş olalım. Bilgeye ise 1 tane deve eklettirip, paylaşım sonucu devesini geri aldırtalım. Ayrıca pay oranlarının payları 1 olsun (xi = 1).
Yani çocukların pay oranları
p1 = 1/y1
p2 = 1/y2
p3 = 1/y3
şeklinde olmasını kararlaştıralım.

Bulmamız gereken değerler y1, y2, y3 ve D.

Yukardaki 1. şartdan

1/y1 + 1/y2 + 1/y3 = D/(D + 1)

olduğunu biliyoruz.
Eşitliğin sağ tarafını

D/(D + 1) = 1 - 1/(D + 1)

şeklinde de yazabileciğimizden denklemi

1/y1 + 1/y2 + 1/y3 + 1/(D + 1) = 1

şekline getirebiliriz.
1/(D + 1) teriminin bilgenin pay oranından (= pb) başka bir şey olmadığını biliyoruz. Buna

pb = 1/(D + 1) = 1/y4

diyelim.
(Ana mirasın deve sayısının D = y4 - 1 olduğunu da belirtelim.)
Bu durumda denklemimiz

1/y1 + 1/y2 + 1/y3 + 1/y4 = 1

halini alır.

Problemimiz;
Terslerinin toplamı 1 eden 4 doğal sayı nedir?
veya
Terslerinin toplamı 1 eden kaç tane 4'der sayı grubu vardır bu sayılar nedir?
problemine dönüşmüş olur.


Sevgiler

[gercekisim]

DreiMalAli";p=&quot´isimli üyeden Alıntı

Nasıl paylaşacaklar bu mirası ??? başlığından devam:

DEVE PAYLAŞIMININ KERAMETLERİ 1:

Bir baba çocuklarına 17 tane deveyi miras bırakıyor. vasiyeti ise;
1. çocuk 1/2 oranında pay alacak,
2. çocuk 1/3 oranında *pay alacak
ve
3. çocuk 1/9 oranında pay alacak.

Vasiyeti ciddiye alır da bu oranlarla paylaşırlarsa
1. çocuk mirasdan 17 . 1/2 = 17/2 = 8 + 1/2 = 8,5 tane deve alması lazım.
2. çocuk mirasdan 17 . 1/3 = 17/3 = 5 + 2/3 = 5,66.. tane deve alması lazım.
3. çocuk mirasdan 17 . 1/9 = 17/9 = 1 + 8/9 = 1,88... tane deve alması lazım.

Bu paylarda paylaşmak için 3 tane deveyi kesmeleri gerekiyor.
Bu arada bir devenin 1/2'si, 2/3'ü ve 8/9'u nedir sorusunu cevapsız kalıyor tabi.

Diğer tarafdan ama bu şekilde paylaşmış olsalar dahi ellerine geçen toplam miktar

17/2 + 17/3 + 17/9 = 289/18 = 16 + 1/18

kadar deve olacak.
Paylaşılması gereken miktarın 17 deve olduğunu hatırlar ve bu oranlarla paylaşıldığını düşünürsek mirasdan

17 - 289/18 = 17/18

kadar deve artmış olacak.
Nerdeyse 1 deve paylaşılmadan ortalıkda kalacak.
Nedeni ise paylaşım oranlarının toplamının 1 olamyıp

1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18

olması. Yani 1'den küçük olması. Paylaşım oranlarının 1 olması için oranlara

1 - 17/18 = 1/18

daha eklememiz gerekiyor.

[Konu dışı bir parantez açalım]
Burada; mirasdan arta kalan bir miktarın olması hemen

olmayan Allah'ın
göndermediği peygamberine,
(hiç yaşamamış olan Muhammed'e,)
indirmediği vahiylerle dikte ettirmediği Kuran'daki

miras paylaşımını akla getiriyor ve

Kuran'daki bu matematik hatasını berteraf etmek mümkün oladığından
bu Dünya'ya hiç uğramadığı için halifelik yapmamış olan halife Ömer tarafından icat edilmemiş olan fakat müslümanlar arasında yüzyıllardır kullanılan "avliye-reddiye paylaşımı"
nıda hatırlatıyor.
Bizim örneğimizde paylaşımdan sonra bir artık kalıyor. Bu ise müslümanların miras paylaşımı sisteminde

"reddiye paylaşımı"na denk düşer.
"Allahın matematik hatası" konusu hakkında exclusive arkadaşımızın açmış olduğu başlığın linkini verelim:
http://www.turandursun.com/modules.p...ewtopic&t=2493

İlgilenen olursa şu link olayın garipliği hakkında biraz bilgi veriyor:
http://www.ateizm.org/arsiv/ARSIV-V/T1450.HTM
[Konu dışı açılan parantezi kapatalım]

Hikayemizin devamında işin içine birisi daha giriyor. Hikayenin orijinalinde bu kişi bazan bir yolcu bazan bir bilge(!) diye geçer.
Bu bige kişi 17 deveye kendi devesi olan 1 deve daha ekliyor. Babadan kalan mirasın miktarı 17 deve iken bilgenin eklemesiyle oluşan ve sonra bölüşülen mirasın miktarı 18 deve oluyor. Bilge ise mirasdan pay alan 4. kişi rolüne bürünüyor. Ama çocukların mirasdan almaları gereken pay oranlarında bir değişiklik yapılmadığından

1. çocuk mirasdan 18 . 1/2 = 18/2 = 9 tane deve alıyor. Alması gerekendan 1/2 deve daha fazla eline geçiyor.
2. çocuk mirasdan 18 . 1/3 = 18/3 = 6 tane deve alıyor. Alması gerekendan 1/3 deve daha fazla eline geçiyor.
3. çocuk mirasdan 18 . 1/9 = 18/9 = 2 tane deve alıyor. Alması gerekendan 1/9 deve daha fazla eline geçiyor.
Çocukların eline tam olarak

9 + 6 + 2 = 17

deve geçmiş oldu.
Bu ise babadan kalan mirasa denk düşüyor.

Çocukların ellerine geçen fazlalıkları toplarsak

1/2 + 1/3 + 1/9 = 17/18

olduğunu görürüz.
Bu; yukarda hesapladığımız gibi, asıl miras olan 17 deve paylaşılsaydı ortada kalacak olan miras miktarına denk düşer.
Böylece ortada kalacak olan miras miktarı çocuklar arasında paylaşılmış oldu.

Bilge ise 18 develik mirasdan 1 deve alıyor. Bu bilgenin babadan kalma mirasa eklediği deve miktarıdır.Bilgenin mirasdan 1 develik pay alması; mirasdan 1/18 oranında pay aldığı anlamına geliyor. Bu ise çocukların pay oranlarının toplamın 1'e tamamlamak için gereken pay oranından başka bir şey değil.

Çocukların eline geçen miktarlar, babanın mirasına VE vasiyetine dayanarak yapılan bir miras paylaşımından ellerine geçmesi gereken miktarlar değil. Bilgenin katkısıyla; ortada kalacak olan artık-miras çocuklara kalmış oldu.

Olayın duygusal tarafı:
Çocuklar 17 deveyi deve kesmeden paylaşamaz iken, bilgenin teklifiyle paylaşabilir hale geliyorlar.
Bilge ise miras paylaşımından önce 1 deve koyuyor miras paylaşımından sonra ise 1 deve alıyor. Bir şey kaybetmemiş oluyor.
Bu iki olguyu bir arada görünce hayretler içinde kalıyoruz.
Bu hayretimizden dolayı bababının vasiyetinin ırzına geçildiğini göz ardı ediyoruz.

Baba 1. çocuğuna 8,5 deveyi layık görmüşken çocuk 9 deve alarak babasının vasiyetini çiğnemiş oldu.
Baba 2. çocuğuna 5,66 deveyi layık görmüşken çocuk 6 deve alarak babasının vasiyetini görmezden geldi.
Baba 3. çocuğuna 1,88 deveyi layık görmüşken çocuk 2 deve alarak babasının vasiyetini ayaklar altına aldı.

Tabi bilgenin yönteminin tek çözümü mirasa 1 deve eklemek değil.
Deve sayısını 18'in katlarına (1 . 18 = 18, 2 . 18 = 36, 3 . 18 = 54, vs.) tamalayan her çözüm yolu * * *
bilgenin yöntemidir.
Bilge 19 deve ekleyerek mirası 36 deveye çıkarmış olsaydı, babalarının vasiyetini ciddiye almayan
1. çocuk 36/2 = 18 deve alacaktı.
2. çocuk 36/3 = 12 deve alacaktı.
3. çocuk 36/9 = 14 deve alacaktı.
Bilge ise mirasa 19 deve eklediği halde sadece 2 deve alıp 17 deve zararda olacakdı.
Ve çocuklar epeyce bir sevinecekler, bilgeye minnettar kalacaklardı.

Veya babanın develerinin sayısı 17 değil 35 olsaydı...
Aynı yöntemi kullanarak...
Bilge 1 deve daha koyarak mirası 36'ya çıkarırdı.
Bu durumda da
1. çocuk 36/2 = 18 deve alacaktı.
2. çocuk 36/3 = 12 deve alacaktı.
3.çocuk36/9=14devealacaktı.Çocukların eline geçen toplam deve miktarı 34 olurdu.
Bilge ise sadece 1 deve eklediği halde 2 deveye el koyardı.
Ama çocuklar bilgeyi artık bir bilge olarak değil bir üçkağıtcı, bir sahtekat olarak görürler; belki de
üzerine yürüyüp bir güzel pataklarlardı.

Biz ise bu durumlarda hayret etmez, işin içindeki bit yeniğini aramaya kalkardık.

Neyse!
Örnekleri bırakıp şu bilgenin yöntemini genelleştirip sorunun genel haline bir çözüm bulmaya çalışalım.

Sevgiler

Güzel bir anlatım olmuş ancak en sonda yapılan hesaptaki sonuç hatalı yazılmış,düzeltirseniz daha iyi olur.

[DreiMalAli]

DEVE PAYLAŞIMININ KERAMETLERİ 6:

Şimdilik

y1 <= y2 <= y3 <y4>= 1/y2 >= 1/y3 >= 1/y4

olur.

(A)
1/y1 + 1/y1 + 1/y1 + 1/y1 = 4/y1 >= 1/y1 + 1/y2 + 1/y3 + 1/y4 = 1 eşitsizliğinden

4/y1 >= 1 veya

y1 >= 4

olması gerektiğini ve

1/y2 + 1/y3 + 1/y4 = 1 -1/y1 > 0 eşitsizliğinden

y1 > 1

olması gerektiğini tespit ederiz. yani y1 için sadece 2, 3 ve 4 sayıları mümkündür. Yani

1 < y1 <= 4

(B)
y1 = 2 seçelim.

Yerine koyarsak

1/y2 + 1/y3 + 1/y4 = 1 - 1/2 = 1/2

olur. (A)'daki yöntemi 1/y2 için uygulayarak

2 < y2 <= 6

olması gerektiğini buluruz.

(C)
y1 = 2 diye zaten seçmiştik.
y2 = 3 seçelim
ve yerlerine koyalım

1/y3 + 1/y4 = 1 - 1/2 - 1/3 = 1/6 eder.

(A)'daki yöntemi tekrar kullanarak

6 < y3 <= 12

olduğunu tesbit ederiz.

(D)
y1 = 2
ve
y2 = 3 diye zaten seçmiştik.

1/y4 = 1/6 - 1/y3

denkleminde y3 için (C)'de bulduğumuz aralıkdaki değerleri ( 7, 8, 9, 10, 11 ve 12) yerine koyarak y4'ü
ve y4'ü

D = y4 - 1

eşitliğide yerine koyarak deve sayısını bulmuş oluruz.
Bunlar:

y1.....y2.....y3.....D
2......3......7......41
2......3......8......23
2......3......9......17
2......3......10.....14
2......3......11.....12 + 1/5 (Tamsayı olmadığından bu çözüm sayılmaz)
2......3......12.....11

(E)
Şimdi (C)'de y2 = 4, 5 ve 6 sayılarını seçerek (C) ve (D)'yi tekrarlamamız gerek.

(F)
Daha sonra ise (B)'de y1 = 2, 3 ve seçerek (B), (C), (D) ve (E)'yi tekrarlamaız gerek.


Bunları burada yapacak değilim tabi.
Excel'in canı sağ olsun.
Biraz sonra benim yerime bütün sonuçları hesaplar.


Sevgiler

[DreiMalAli]

DEVE PAYLAŞIMININ KERAMETLERİ 7:

Ve sonuç:
Meğer bu deve paylaşımı sorusu 44 çeşitli şekilde sorulabilinirmiş.


i.......y1.......y2.......y3.......D
1.......2.......3.......7.......41
2.......2.......3.......8.......23
3.......2.......3.......9.......17
4.......2.......3.......10......14
5.......2.......3.......12......11
6.......2.......4.......5.......19
7.......2.......4.......6.......11
8.......2.......4.......8.......7
9.......2.......5.......5.......9
10......2.......6.......6.......5
11......3.......3.......4.......11
12......3.......3.......6.......5
13......3.......4.......4.......5
14......4.......4.......4.......3
15......2.......3.......42......6
16......2.......3.......24......7
17......2.......3.......18......8
18......2.......3.......15......9
19......2.......4.......20......4
20......2.......4.......12......5
21......2.......5.......10......4
22......3.......3.......12......3
23......3.......4.......6.......3
24......2.......7.......42......2
25......2.......8.......24......2
26......2.......9.......18......2
27......2.......10......15......2
28......2.......12......12......2
29......2.......5.......20......3
30......2.......6.......12......3
31......2.......8.......8.......3
32......3.......4.......12......2
33......3.......6.......6.......2
34......3.......7.......42......1
35......3.......8.......24......1
36......3.......9.......18......1
37......3.......10......15......1
38......3.......12......12......1
39......4.......5.......20......1
40......4.......6.......12......1
41......4.......8.......8.......1
42......5.......5.......10......1
43......6.......6.......6.......1
44......4.......4.......6.......2

Kaynakca:
1. Muhtarlığın ikametgah formu
2. Savcılıkdan temiz kağıdı
3. Miky Mous cild no 24
4. Vergi beyannamesi 2004
5. Bermuda Şeytan Üçgeni Eleştirisi
6. Bermuda Şeytan Üçgeni Eleştirisi'sine Kritik Bakış.
7. 1 Fincan sütlü kahvenin falı
8. 1 fincan sütsüz kahvenin 40 yıllık hatırı


Sevgiler